Scholar Hub/Chủ đề/#phương trình p-laplace/
Phương trình p-Laplace là một dạng tổng quát của phương trình Laplace, trong đó một hàm số không phụ thuộc vào số chiều của không gian được biểu diễn bằng công ...
Phương trình p-Laplace là một dạng tổng quát của phương trình Laplace, trong đó một hàm số không phụ thuộc vào số chiều của không gian được biểu diễn bằng công thức sau:
∇ · (|∇u|^(p-2) ∇u) = 0
Ở đây, ∇ là toán tử đạo hàm gradient, |∇u| là độ lớn của gradient, p là một số thực dương và u là hàm số cần tìm. Phương trình p-Laplace tương ứng với trường hợp p = 2 chính là phương trình Laplace. Phương trình này thường được sử dụng trong lĩnh vực lý thuyết phương trình vi phân và giải tích.
Phương trình p-Laplace là một dạng tổng quát hóa của phương trình Laplace. Trong phương trình Laplace, tỷ lệ giữa biến thiên của hàm số và biến thiên của biến độ lớn của gradient của hàm số là nhỏ nhất (với p = 2). Trong khi đó, phương trình p-Laplace cho phép điều chỉnh mức độ của tỷ lệ này bằng cách thay đổi giá trị của p.
Phương trình p-Laplace có dạng sau:
∇ · (|∇u|^(p-2) ∇u) = 0
Ở đây, ∇ là toán tử đạo hàm gradient, |∇u| là độ lớn của gradient, p là một số thực dương và u là hàm số cần tìm.
Phương trình này có thể diễn tả nhiều hiện tượng trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, hóa học, sinh học và kỹ thuật. Ví dụ, trong vật lý, phương trình p-Laplace có thể được sử dụng để mô phỏng sự dẫn nhiệt trong các vật liệu không đồng nhất. Trong toán học, phương trình này cũng được nghiên cứu trong lý thuyết phương trình vi phân và giải tích, đặc biệt là trong lĩnh vực các phương trình phi tuyến.
Việc giải phương trình p-Laplace là một vấn đề khá phức tạp, đòi hỏi sự sáng tạo và kỹ thuật tính toán phức tạp. Có nhiều phương pháp và công cụ tính toán được phát triển để giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình p-Laplace.
Phương trình p-Laplace có thể được viết lại dưới dạng tổng quát như sau:
div(|∇u|^(p-2) ∇u) = 0,
trong đó div là toán tử divergence, ∇u là gradient của hàm số u, |∇u| là độ lớn của gradient và p là một số thực dương.
Công thức trên biểu diễn một biến thể của phương trình Poisson, với |∇u|^(p-2) ∇u chính là đạo hàm của hàm u theo không gian. Khi p = 2, ta thu được phương trình Laplace thông thường.
Phương trình p-Laplace thường được sử dụng để mô tả các hiện tượng phi tuyến trong nhiều lĩnh vực, ví dụ như điều hòa điện trong vật lý, dòng chảy chất lỏng nhớt trong cơ học chất lưu, và sự thích ứng của mạng lưới trong lý thuyết đồ thị.
Tuy phương trình p-Laplace có dạng đơn giản, giải nó không phải lúc nào cũng dễ dàng. Điều này bởi vì phương trình là phi tuyến và có thể cho ra nhiều lời giải khác nhau. Một số phương pháp giải quyết phương trình p-Laplace bao gồm phương pháp Dunford-Schwartz, phương pháp Galerkin, và phương pháp phần tử hữu hạn. Ngoài ra, cả hai phép tính trực tiếp và phép tính số học có thể được sử dụng để tìm cách tiếp cận lời giải gần đúng của phương trình.
Đánh giá độ dốc cho các phương trình quasilinear parabol loại p-Laplace đặc biệt với dữ liệu đo lường Dịch bởi AI Springer Science and Business Media LLC - Tập 61 - Trang 1-41 - 2022
Chúng tôi quan tâm đến việc ước lượng độ dốc cho các nghiệm của một lớp phương trình quasilinear parabol đặc biệt với dữ liệu đo lường, có dạng nguyên mẫu được cho bởi phương trình p-Laplace parabol
$$u_t-\Delta _p u=\mu $$
với
$$p\in (1,2)$$
. Trường hợp khi
$$p\in \big (2-\frac{1}{n+1},2\big )$$
đã được nghiên cứu bởi Kuusi và Mingione (Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci 5 12(4):755–822, 2013). Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng các kết quả trong Kuusi và Mingione (2013) đến trường hợp mở khi
$$p\in \big (\frac{2n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\big ]$$
nếu
$$n\ge 2$$
và
$$p\in (\frac{5}{4}, \frac{3}{2}]$$
nếu
$$n=1$$
. Cụ thể hơn, trong một khoảng p có tính chất đặc biệt hơn như đã nêu trên, chúng tôi thiết lập các ước lượng độ dốc theo điểm thông qua hạt nhân Riesz parabol tuyến tính và kết quả liên tục độ dốc thông qua một số giả thiết về hạt nhân Riesz parabol.
#độ dốc #phương trình quasilinear #p-Laplace #dữ liệu đo lường #hạt nhân Riesz parabol
MỘT CHỨNG MINH NGẮN CHO BẤT ĐẲNG THỨC HÀM PHÂN PHỐI TRÊN CÁC TẬP MỨC Tính chính quy nghiệm cho phương trình elliptic tựa tuyến tính là một trong những bài toán đang được nghiên cứu sôi nổi hiện nay bởi nhiều tác giả, bằng nhiều phương pháp khác nhau. Để khảo sát bài toán này, một phương pháp mới được đề xuất gần đây liên quan đến bất đẳng thức hàm phân phối trên các tập mức thông qua toán tử cực đại cấp phân số. Phương pháp này hiệu quả và có thể ứng dụng cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng khác nhau. Các điều kiện đủ để chứng minh được bất đẳng thức hàm phân phối là điểm mấu chốt để thu được đánh giá Lorentz trong phương pháp này. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một chứng minh ngắn cho bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức, dựa trên một điều kiện đủ chung cho hai điều kiện đủ được đề xuất trong bài báo gần đây (Nguyen, & Tran, 2021a).
#đánh giá gradient #bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức #Không gian Lorentz #phương trình p-Laplace
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH P-LAPLACE VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN MARCINKIEWICZ Trong báo cáo này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình p-Laplace với dữ liệu độ đo trong không gian Marcinkiewicz. Ý tưởng chính của chứng minh là dựa vào định lí điểm bất động Schauder cho một ánh xạ liên tục, xác định trên một tập lồi, đóng, có ảnh là tập tiền compact. Để xây dựng ánh xạ thỏa các tính chất này, chúng tôi áp dụng một số đánh giá gradient của nghiệm phương trình elliptic tựa tuyến tính với dữ liệu độ đo, được nghiên cứu trong một vài bài báo gần đây.
#nghiệm renormalized #không gian Marcinkiewicz #phương trình p-Laplace
Sự hội tụ của một sơ đồ số loại phương pháp vòng xoáy trên một bề mặt kín với sự xấp xỉ hình dạng bề mặt Dịch bởi AI Differential Equations - Tập 48 - Trang 1308-1317 - 2012
Chúng tôi xem xét một phương trình tích phân tuyến tính với tích phân siêu phân kỳ được xử lý theo nghĩa giá trị hữu hạn của Hadamard. Phương trình này phát sinh khi giải quyết bài toán biên Neumann cho phương trình Laplace bằng cách sử dụng biểu diễn của nghiệm dưới dạng tiềm năng lớp đôi. Chúng tôi nghiên cứu trường hợp giải quyết một bài toán biên bên ngoài hoặc bên trong trong một miền có biên là một mặt đóng mịn và phương trình tích phân được viết ra trên mặt đó. Để giải quyết số phương trình tích phân, mặt được xấp xỉ bởi các đa giác không gian có đỉnh nằm trên mặt. Chúng tôi xây dựng một sơ đồ số để giải phương trình tích phân dựa trên xấp xỉ mặt như vậy với sự sử dụng các công thức tích phân kiểu phương pháp các điểm rời rạc có điều chỉnh. Chúng tôi chứng minh rằng các nghiệm số hội tụ về nghiệm chính xác của phương trình tích phân siêu phân kỳ đồng nhất trên lưới.
#phương trình tích phân tuyến tính #tích phân siêu phân kỳ #bài toán biên Neumann #phương trình Laplace #sơ đồ số #xấp xỉ mặt #phương pháp vòng xoáy.
Tính toán ứng suất bề mặt cho các hạt nano và lỗ rỗng trong nhôm, silicon và sắt: ảnh hưởng của áp suất và tính hợp lệ của phương trình Young-Laplace Dịch bởi AI Materials Theory - Tập 5 - Trang 1-18 - 2021
Nghiên cứu này được dành riêng cho việc xác định năng lượng bề mặt và ứng suất của hạt nano và lỗ rỗng trong sự hiện diện của áp suất, và để đánh giá độ chính xác của phương trình Young-Laplace cho các hệ thống này. Các quy trình được đề xuất để trích xuất các đại lượng đó từ các tính toán tiềm năng liên nguyên tử cổ điển, được thực hiện cho ba vật liệu khác nhau: nhôm, silicon và sắt. Các cuộc điều tra của chúng tôi trước tiên tiết lộ sự gia tăng năng lượng bề mặt và ứng suất của hạt nano như một hàm của áp suất. Ngược lại, chúng tôi tìm thấy sự giảm đáng kể đối với các lỗ rỗng, điều này có thể liên quan đến việc khởi phát biến dạng dẻo ở áp suất cao. Chúng tôi chỉ ra rằng phương trình Young-Laplace không nên được sử dụng cho các dự đoán định lượng khi áp suất Laplace được tính toán với một giá trị năng lượng bề mặt không đổi, như thường thấy trong tài liệu. Thay vào đó, một sự cải tiến đáng kể được thu được bằng cách sử dụng ứng suất bề mặt phụ thuộc vào đường kính và áp suất. Trong trường hợp đó, phương trình Young-Laplace có thể được sử dụng với độ chính xác hợp lý ở áp suất thấp cho các hạt nano có đường kính nhỏ tới 4 nm, và 2 nm cho các lỗ rỗng. Ở kích thước nhỏ hơn, hoặc áp suất cao, một yếu tố hạn chế nghiêm trọng là thách thức trong việc trích xuất các giá trị ứng suất bề mặt có ý nghĩa.
#ứng suất bề mặt #hạt nano #lỗ rỗng #nhôm #silicon #sắt #phương trình Young-Laplace #năng lượng bề mặt #áp suất
BẤT ĐẲNG THỨC CACCIOPOLI CÓ TRỌNG CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH P-LAPLACE Không gian Sobolev cấp phân số có trọng có nhiều ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng. Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát lớp không gian Sobolev cấp phân số có trọng, ứng với hàm trọng là hàm khoảng cách đến biên của miền xác định. Lớp k hông gian này được sử dụng để thu được một dạng bất đẳng thức dạng Cacciopoli có trọng cho bài toán p-Laplace với dữ liệu độ đo . Kết quả của chúng tôi là mở rộng của bất đẳng thức Cacciopoli trong bài báo gần đây (Tran & Nguyen, 2021 b ) .
#bất đẳng thức dạng Cacciopoli #phương trình đạo hàm riêng #phương trình p-Laplace #không gian Sobolev cấp phân số có trọng
Giải quyết các phương trình của chụp ảnh tomografi có điều kiện Dịch bởi AI Proceedings IEEE International Symposium on Biomedical Imaging - - Trang 653-656
Việc hoãn lại quá trình phân rã có thể đôi khi thay đổi cách nhìn của chúng ta về các vấn đề hình ảnh. Để minh họa, chúng tôi cung cấp một cách tiếp cận lại đối với chụp ảnh tomografi có điều kiện (CT) trong đó hệ phương trình lớn liên thông cho hình ảnh mượt mà chưa biết được tách thành nhiều phương trình nhỏ hơn và đơn giản hơn, mỗi phương trình cho một phép chiếu riêng biệt. Do đó, CT có điều kiện trở thành một quá trình hai giai đoạn của việc làm mượt (không đồng nhất) các phép chiếu, tiếp theo là phép chiếu ngược đã được lọc. Như một sản phẩm phụ, các phép chiếu tiến và ngược thường thấy trong tái cấu trúc hình ảnh lặp lại sẽ được loại bỏ. Mặc dù việc đơn giản hóa tính toán, chúng tôi chỉ ra rằng phương pháp này có thể được sử dụng để giảm thiểu các hiện tượng nhiễu kim loại trong hình ảnh CT X-quang. Việc tách rời các phương trình là kết quả của việc hoãn lại quá trình phân rã các đạo hàm hình ảnh thực hiện ràng buộc mượt mà, cho phép ràng buộc này được "chuyển" một cách phân tích từ miền hình ảnh sang miền phép chiếu, hay miền Radon. Phân tích của chúng tôi do đó làm sáng tỏ vai trò của độ mượt mà của hình ảnh: đó là một ràng buộc hoàn toàn nội tại trong phép chiếu.
#Computed tomography #X-ray imaging #Robot kinematics #Medical robotics #Image analysis #Background noise #Laplace equations #Biomedical imaging #Information technology #Smoothing methods
KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG p-LAPLACE CHỨA SỐ HẠNG SCHRÖDINGER VỚI P>=N Phương trình p-Laplace chứa số hạng Schrödinger có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học. Tính chính quy nghiệm của phương trình này được nghiên cứu gần đây trên các không gian hàm khác nhau. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày các kết quả về tính chính quy nghiệm trong không gian Lorentz cho phương trình p-Laplace chứa số hạng Schrödinger trong trường hợp . Phương pháp của chúng tôi là xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức của các đại lượng liên quan đến gradient của nghiệm và hàm dữ liệu, dưới tác động của các toán tử cực đại cấp phân số. Đây là phương pháp được phát triển và sử dụng hiệu quả trong một số bài báo gần đây.
#tính chính quy nghiệm #toán tử cực đại cấp phân số #Không gian Lorentz #phương trình p-Laplace #đánh giá gradient
Các thuộc tính giá trị trung bình tiệm cận cho các phương trình elliptic và parabolic có hai pha Dịch bởi AI Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA - Tập 30 - Trang 1-21 - 2023
Chúng tôi đặc trưng hóa một công thức giá trị trung bình tiệm cận theo nghĩa độ nhớt cho phương trình elliptic hai pha
$$\begin{aligned} -{\textrm{div}}(|\nabla u |^{p-2}\nabla u+ a(x)|\nabla u |^{q-2}\nabla u)=0 \end{aligned}$$
và phương trình parabol hai pha đã chuẩn hóa
$$\begin{aligned} u_t=|\nabla u |^{2-p}{\textrm{div}}(|\nabla u |^{p-2}\nabla u+ a(x,t)|\nabla u |^{q-2}\nabla u), \quad 1
#phương trình elliptic #phương trình parabolic #giá trị trung bình tiệm cận #độ nhớt #phương trình p-Laplace #phương trình p(x)-Laplace
