Scholar Hub/Chủ đề/#phương trình p-laplace/
Phương trình p-Laplace là một dạng tổng quát của phương trình Laplace, trong đó một hàm số không phụ thuộc vào số chiều của không gian được biểu diễn bằng công ...
Phương trình p-Laplace là một dạng tổng quát của phương trình Laplace, trong đó một hàm số không phụ thuộc vào số chiều của không gian được biểu diễn bằng công thức sau:
∇ · (|∇u|^(p-2) ∇u) = 0
Ở đây, ∇ là toán tử đạo hàm gradient, |∇u| là độ lớn của gradient, p là một số thực dương và u là hàm số cần tìm. Phương trình p-Laplace tương ứng với trường hợp p = 2 chính là phương trình Laplace. Phương trình này thường được sử dụng trong lĩnh vực lý thuyết phương trình vi phân và giải tích.
Phương trình p-Laplace là một dạng tổng quát hóa của phương trình Laplace. Trong phương trình Laplace, tỷ lệ giữa biến thiên của hàm số và biến thiên của biến độ lớn của gradient của hàm số là nhỏ nhất (với p = 2). Trong khi đó, phương trình p-Laplace cho phép điều chỉnh mức độ của tỷ lệ này bằng cách thay đổi giá trị của p.
Phương trình p-Laplace có dạng sau:
∇ · (|∇u|^(p-2) ∇u) = 0
Ở đây, ∇ là toán tử đạo hàm gradient, |∇u| là độ lớn của gradient, p là một số thực dương và u là hàm số cần tìm.
Phương trình này có thể diễn tả nhiều hiện tượng trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, hóa học, sinh học và kỹ thuật. Ví dụ, trong vật lý, phương trình p-Laplace có thể được sử dụng để mô phỏng sự dẫn nhiệt trong các vật liệu không đồng nhất. Trong toán học, phương trình này cũng được nghiên cứu trong lý thuyết phương trình vi phân và giải tích, đặc biệt là trong lĩnh vực các phương trình phi tuyến.
Việc giải phương trình p-Laplace là một vấn đề khá phức tạp, đòi hỏi sự sáng tạo và kỹ thuật tính toán phức tạp. Có nhiều phương pháp và công cụ tính toán được phát triển để giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình p-Laplace.
Phương trình p-Laplace có thể được viết lại dưới dạng tổng quát như sau:
div(|∇u|^(p-2) ∇u) = 0,
trong đó div là toán tử divergence, ∇u là gradient của hàm số u, |∇u| là độ lớn của gradient và p là một số thực dương.
Công thức trên biểu diễn một biến thể của phương trình Poisson, với |∇u|^(p-2) ∇u chính là đạo hàm của hàm u theo không gian. Khi p = 2, ta thu được phương trình Laplace thông thường.
Phương trình p-Laplace thường được sử dụng để mô tả các hiện tượng phi tuyến trong nhiều lĩnh vực, ví dụ như điều hòa điện trong vật lý, dòng chảy chất lỏng nhớt trong cơ học chất lưu, và sự thích ứng của mạng lưới trong lý thuyết đồ thị.
Tuy phương trình p-Laplace có dạng đơn giản, giải nó không phải lúc nào cũng dễ dàng. Điều này bởi vì phương trình là phi tuyến và có thể cho ra nhiều lời giải khác nhau. Một số phương pháp giải quyết phương trình p-Laplace bao gồm phương pháp Dunford-Schwartz, phương pháp Galerkin, và phương pháp phần tử hữu hạn. Ngoài ra, cả hai phép tính trực tiếp và phép tính số học có thể được sử dụng để tìm cách tiếp cận lời giải gần đúng của phương trình.
Đánh giá độ dốc cho các phương trình quasilinear parabol loại p-Laplace đặc biệt với dữ liệu đo lường Dịch bởi AI Springer Science and Business Media LLC - Tập 61 - Trang 1-41 - 2022
Chúng tôi quan tâm đến việc ước lượng độ dốc cho các nghiệm của một lớp phương trình quasilinear parabol đặc biệt với dữ liệu đo lường, có dạng nguyên mẫu được cho bởi phương trình p-Laplace parabol
$$u_t-\Delta _p u=\mu $$
với
$$p\in (1,2)$$
. Trường hợp khi
$$p\in \big (2-\frac{1}{n+1},2\big )$$
đã được nghiên cứu bởi Kuusi và Mingione (Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci 5 12(4):755–822, 2013). Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng các kết quả trong Kuusi và Mingione (2013) đến trường hợp mở khi
$$p\in \big (\frac{2n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\big ]$$
nếu
$$n\ge 2$$
và
$$p\in (\frac{5}{4}, \frac{3}{2}]$$
nếu
$$n=1$$
. Cụ thể hơn, trong một khoảng p có tính chất đặc biệt hơn như đã nêu trên, chúng tôi thiết lập các ước lượng độ dốc theo điểm thông qua hạt nhân Riesz parabol tuyến tính và kết quả liên tục độ dốc thông qua một số giả thiết về hạt nhân Riesz parabol.
#độ dốc #phương trình quasilinear #p-Laplace #dữ liệu đo lường #hạt nhân Riesz parabol
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH P-LAPLACE VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN MARCINKIEWICZ Trong báo cáo này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình p-Laplace với dữ liệu độ đo trong không gian Marcinkiewicz. Ý tưởng chính của chứng minh là dựa vào định lí điểm bất động Schauder cho một ánh xạ liên tục, xác định trên một tập lồi, đóng, có ảnh là tập tiền compact. Để xây dựng ánh xạ thỏa các tính chất này, chúng tôi áp dụng một số đánh giá gradient của nghiệm phương trình elliptic tựa tuyến tính với dữ liệu độ đo, được nghiên cứu trong một vài bài báo gần đây.
#nghiệm renormalized #không gian Marcinkiewicz #phương trình p-Laplace
Sự hội tụ của một sơ đồ số loại phương pháp vòng xoáy trên một bề mặt kín với sự xấp xỉ hình dạng bề mặt Dịch bởi AI Differential Equations - Tập 48 - Trang 1308-1317 - 2012
Chúng tôi xem xét một phương trình tích phân tuyến tính với tích phân siêu phân kỳ được xử lý theo nghĩa giá trị hữu hạn của Hadamard. Phương trình này phát sinh khi giải quyết bài toán biên Neumann cho phương trình Laplace bằng cách sử dụng biểu diễn của nghiệm dưới dạng tiềm năng lớp đôi. Chúng tôi nghiên cứu trường hợp giải quyết một bài toán biên bên ngoài hoặc bên trong trong một miền có biên là một mặt đóng mịn và phương trình tích phân được viết ra trên mặt đó. Để giải quyết số phương trình tích phân, mặt được xấp xỉ bởi các đa giác không gian có đỉnh nằm trên mặt. Chúng tôi xây dựng một sơ đồ số để giải phương trình tích phân dựa trên xấp xỉ mặt như vậy với sự sử dụng các công thức tích phân kiểu phương pháp các điểm rời rạc có điều chỉnh. Chúng tôi chứng minh rằng các nghiệm số hội tụ về nghiệm chính xác của phương trình tích phân siêu phân kỳ đồng nhất trên lưới.
#phương trình tích phân tuyến tính #tích phân siêu phân kỳ #bài toán biên Neumann #phương trình Laplace #sơ đồ số #xấp xỉ mặt #phương pháp vòng xoáy.
Tính toán ứng suất bề mặt cho các hạt nano và lỗ rỗng trong nhôm, silicon và sắt: ảnh hưởng của áp suất và tính hợp lệ của phương trình Young-Laplace Dịch bởi AI Materials Theory - Tập 5 - Trang 1-18 - 2021
Nghiên cứu này được dành riêng cho việc xác định năng lượng bề mặt và ứng suất của hạt nano và lỗ rỗng trong sự hiện diện của áp suất, và để đánh giá độ chính xác của phương trình Young-Laplace cho các hệ thống này. Các quy trình được đề xuất để trích xuất các đại lượng đó từ các tính toán tiềm năng liên nguyên tử cổ điển, được thực hiện cho ba vật liệu khác nhau: nhôm, silicon và sắt. Các cuộc điều tra của chúng tôi trước tiên tiết lộ sự gia tăng năng lượng bề mặt và ứng suất của hạt nano như một hàm của áp suất. Ngược lại, chúng tôi tìm thấy sự giảm đáng kể đối với các lỗ rỗng, điều này có thể liên quan đến việc khởi phát biến dạng dẻo ở áp suất cao. Chúng tôi chỉ ra rằng phương trình Young-Laplace không nên được sử dụng cho các dự đoán định lượng khi áp suất Laplace được tính toán với một giá trị năng lượng bề mặt không đổi, như thường thấy trong tài liệu. Thay vào đó, một sự cải tiến đáng kể được thu được bằng cách sử dụng ứng suất bề mặt phụ thuộc vào đường kính và áp suất. Trong trường hợp đó, phương trình Young-Laplace có thể được sử dụng với độ chính xác hợp lý ở áp suất thấp cho các hạt nano có đường kính nhỏ tới 4 nm, và 2 nm cho các lỗ rỗng. Ở kích thước nhỏ hơn, hoặc áp suất cao, một yếu tố hạn chế nghiêm trọng là thách thức trong việc trích xuất các giá trị ứng suất bề mặt có ý nghĩa.
#ứng suất bề mặt #hạt nano #lỗ rỗng #nhôm #silicon #sắt #phương trình Young-Laplace #năng lượng bề mặt #áp suất
Sự tồn tại của vô số nghiệm cho phương trình (p, q)-Laplace Dịch bởi AI Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA - Tập 23 - Trang 1-23 - 2016
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu phương trình (p, q)-Laplace trong một miền hữu hạn dưới điều kiện biên Dirichlet. Chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ cho hạng tử phi tuyến để tồn tại một dãy nghiệm hội tụ về không hoặc đi đến vô cùng. Hơn nữa, chúng tôi cung cấp các ước lượng trước cho các norm C
1 của các nghiệm dưới một điều kiện thích hợp đối với hạng tử phi tuyến.
#(p #q)-Laplace; nghiệm; điều kiện biên Dirichlet; hạng tử phi tuyến; ước lượng trước.
MỘT ĐÁNH GIÁ GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ CHO PHƯƠNG TRÌNH P-LAPLACE DỮ LIỆU ĐỘ ĐO VỚI P GẦN 1 Phương trình p-Laplace là một trong các phương trình được nhiều nhà toán học nghiên cứu. Đây là phương trình có nhiều ứng dụng trong vật lí và các ngành khoa học khác. Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh một kết quả đánh giá gradient trong không gian Lorentz cho nghiệm renormalized của phương trình p-Laplace dữ liệu độ đo trên miền Reifenberg với giá trị p gần 1. Để chứng minh kết quả chính, chúng tôi sử dụng kĩ thuật good-λ được nghiên cứu trong nhiều bài báo gần đây. Cụ thể, chúng tôi kế thừa các kết quả về bất đẳng thức Hölder ngược và đánh giá so sánh giữa nghiệm của bài toán ban đầu và nghiệm của bài toán thuần nhất trong bài báo (Tran, & Nguyen, 2019c) để chứng minh bất đẳng thức gọi là good-λ. Đặc biệt, chúng tôi xét giả thiết bài toán trên miền Reifenberg để thu được đánh giá tốt hơn trong bài báo (Tran, & Nguyen, 2019c).
#không gian Lorentz #dữ liệu độ đo #phương trình p-Laplace #miền Reifenberg
MỘT CHỨNG MINH NGẮN CHO BẤT ĐẲNG THỨC HÀM PHÂN PHỐI TRÊN CÁC TẬP MỨC Tính chính quy nghiệm cho phương trình elliptic tựa tuyến tính là một trong những bài toán đang được nghiên cứu sôi nổi hiện nay bởi nhiều tác giả, bằng nhiều phương pháp khác nhau. Để khảo sát bài toán này, một phương pháp mới được đề xuất gần đây liên quan đến bất đẳng thức hàm phân phối trên các tập mức thông qua toán tử cực đại cấp phân số. Phương pháp này hiệu quả và có thể ứng dụng cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng khác nhau. Các điều kiện đủ để chứng minh được bất đẳng thức hàm phân phối là điểm mấu chốt để thu được đánh giá Lorentz trong phương pháp này. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một chứng minh ngắn cho bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức, dựa trên một điều kiện đủ chung cho hai điều kiện đủ được đề xuất trong bài báo gần đây (Nguyen, & Tran, 2021a).
#đánh giá gradient #bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức #Không gian Lorentz #phương trình p-Laplace
Về sự tiến hóa của sóng khuếch tán phân đoạn Dịch bởi AI Ricerche di Matematica - Tập 70 - Trang 21-33 - 2019
Trong vật lý, các hiện tượng khuếch tán và sự lan truyền sóng có tầm quan trọng lớn; những quá trình vật lý này được điều khiển trong những trường hợp đơn giản nhất bởi các phương trình vi phân riêng phần bậc 1 và 2 theo thời gian, tương ứng. Người ta đã biết rằng trong khi phương trình khuếch tán mô tả một quá trình mà tại đó sự rối loạn lan tỏa với tốc độ vô hạn, tốc độ lan truyền của sự rối loạn là một hằng số đối với phương trình sóng. Bằng cách thay thế các đạo hàm theo thời gian trong các phương trình chuẩn nói trên bằng các toán tử giả vi phân được hiểu là các đạo hàm có bậc không nguyên (hiện nay thường bị gọi nhầm là bậc phân đoạn), chúng ta dẫn đến các quá trình khuếch tán tổng quát có thể được diễn giải như là khuếch tán chậm và trung gian giữa khuếch tán và sự lan truyền sóng. Trong vật lý toán học, chúng ta có thể gọi những quá trình trung gian này là hiện tượng sóng khuếch tán phân đoạn. Việc sử dụng biến đổi Laplace trong phân tích các bài toán Cauchy và Signalling dẫn đến các hàm đặc biệt loại Wright. Trong công trình này, chúng tôi phân tích và mô phỏng cả hai tình huống mà trong đó hàm đầu vào là một hàm Dirac delta tổng quát và một hàm hộp, tự giới hạn mình trong bài toán Cauchy. Trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi thu được các nghiệm cơ bản (hay còn gọi là hàm Green) của bài toán trong khi trong trường hợp sau, các nghiệm được thu được qua phép tích chập không gian của hàm Green với hàm đầu vào. Để làm rõ vấn đề cho những độc giả không chuyên, chúng tôi nhắc lại một cách ngắn gọn những khái niệm cơ bản và thiết yếu về phép tính phân đoạn (lý thuyết toán học liên quan đến tích phân và đạo hàm có bậc không nguyên) cùng với cái nhìn về lịch sử của ngành học này.
#khuếch tán phân đoạn #sóng khuếch tán #phương trình vi phân #hàm Green #biến đổi Laplace #phép tính phân đoạn
HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC p-LAPLACE Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát hiện tượng bùng nổ của nghiệm phương trình Parabolic p-Laplace. Dựa vào bất đẳng thức Hardy, chúng tôi tìm ra điều kiện để nghiệm của phương trình Parabolic p-Laplace bùng nổ tại thời điểm hữu hạn. Hơn nữa, chúng tôi ước lượng chặn trên và chặn dưới cho thời điểm bùng nổ. Những kết quả này được phát triển từ bài toán của Han vào năm 2018 (Y. Han, 2018) và giải quyết một số vấn đề mở của Liu vào năm 2016 (Y. Liu, 2016). Từ khóa : Hiện tượng bùng nổ, thời điểm bùng nổ.
Phương pháp phân tích tối ưu Laplace để giải các hệ phương trình vi phân riêng phần bậc phân số Dịch bởi AI International Journal of Applied and Computational Mathematics - Tập 8 - Trang 1-18 - 2022
Trong bài báo này, một kỹ thuật lai mới mang tên phương pháp phân tích tối ưu Laplace (LODM) đã được đề xuất để xây dựng nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình vi phân riêng phần bậc phân số (FPDEs) với đạo hàm phân số theo nghĩa Caputo. LODM là sự kết hợp giữa biến đổi Laplace và phương pháp phân tích tối ưu. Kỹ thuật này dựa trên xấp xỉ tuyến tính của hệ phương trình FPDEs phi tuyến. Các ví dụ số được trình bày để chứng minh độ chính xác và độ tin cậy của LODM đối với một lớp các bài toán phi tuyến. Hơn nữa, các kết quả cho thấy sự nhất quán mạnh mẽ giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác.
#phương pháp phân tích tối ưu Laplace; phương trình vi phân riêng phần bậc phân số; đạo hàm phân số; biến đổi Laplace; xấp xỉ tuyến tính
